Thomas' Mathe-Seiten

"Neugier, allgemeinsprachlich oft abwertend gebrauchte Bez. für unangemessenes Interesse an den Angelegenheiten anderer Menschen; grundsätzlich ist N. (N.-Verhalten) ein Bedürfnis nach Neuem und Aufsuchen von Neuem, wobei orientiertes ebenso wie gerichtetes und zielstrebiges Vorgehen eine Rolle spielt. N. ist ein bei Menschen und bei Tieren zu beobachtendes Verhalten, das wahrscheinlich angeboren ist (Trieb zur Exploration). Sie regt zum Auskundschaften der Umwelt und zu oft spieler. äußerem und innerem Experimentieren um der Entdeckung des Neuen willen an. Der kindl. N. und ihrer Förderung durch ein freilassendes und Anregungen bietendes Verhalten der Erziehungspersonen wird in der Pädagogik eine große Bedeutung beigemessen für die Entwicklung der Motivation eines späteren Strebens nach Erkenntnis (Lernfähigkeit, Wissbegier), schöpfer. Tätigkeiten, aber auch für Offenheit und Kontaktbereitschaft im Sozialisationsprozess. Bei vielen Tieren erlischt das N.-Verhalten mit der Geschlechtsreife. Beim Menschen dagegen bleibt die N. lebenslang bestehen."

Brockhaus Enzyklopädie

"Das schönste Erlebnis ist die Begegnung mit dem Geheimnisvollen. Sie ist der Ursprung jeder wahren Kunst und Wissenschaft. Wer nie diese Erfahrung gemacht hat, wer keiner Begeisterung fähig ist und nicht starr vor Staunen dastehen kann, ist so gut wie tot: Seine Augen sind geschlossen..."

Albert Einstein

"Mathematik - das ist Sicherheit. Gewißheit. Wahrheit. Schönheit. Einsicht. Struktur."

Paul Halmos

Inhalt

• Unendliche Potenzen
  In diesem Artikel werden wir uns einem zunächst bizarr anmutenden Thema widmen, nämlich den unendlichen Kettenbrüchen, unendlichen Wurzelausdrücken und unendlichen Potenzen. Sie werden sich jedoch, z.B. im Artikel über Fibonacci-Zahlen, als sehr nützlich erweisen. Außerdem macht es einen Riesenspaß, die einfachsten Dinge möglichst kompliziert hinzuschreiben!
• Die Fibonacci-Zahlen und der Goldene Schnitt
  Dieser Artikel beginnt mit der Definition der Fibonacci-Zahlen und des Goldenen Schnitts. Diese beiden Begriffe ziehen sich dann wie ein roter Faden durch die folgenden Kapitel, um sich immer wieder auf wundersamste Art und Weise zu vemischen. Es werden explizite Formeln für die Fibonacci-Zahlen angegeben werden, die benutzt werden, um den Begriff der Fibonacci-Zahl zu erweitern. Außerdem werden die Potenzen des Goldenen Schnitts untersucht. Dann werden sowohl die Fibonacci-Zahlen als auch der Goldene Schnitt benutzt werden, um Stellenwertsysteme zu definieren. Zwischendurch finden sich immer wieder mahematische Kuriositäten wie die Kaninchen-Konstante, die Fibonacci-hyperbolischen Funktionen oder das 4-Zahlen-Spiel.
• Unendliche Mengen
  Der Begriff "unendlich" wird in der Mathematik vielfach angewendet. Bei Grenzübergängen, Asymptotenberechnungen oder Berechnung uneigentlicher Integrale wird er ganz natürlich benutzt. Aber wie groß ist eigentlich "unendlich"? Bei genauerer Betrachtung findet man darauf mehrere Antworten.
• Fraktale
  Mit diesem Artikel werden wir in das weite Feld der Fraktale einsteigen. Er beginnt mit den nötigen Bemerkungen zum Dimensionsbegriff. Dann werden Grundlagen über die Iteration von Funktionen besprochen. An dieses Kapitel schließt sich direkt eine Behandlung der logistischen Gleichung an. Nun wird zu den komplexen Zahlen übergegangen, d.h. Julia- und Mandelbrot-Mengen werden untersucht. Dann folgen eine Reihe weiterer Kapitel zur Vertiefung. Ein weiterer wichtiger Punkt ist das Kapitel über IFS. Darauf folgt eine ausführliche Behandlung diverser fraktaler Kurven und ihrer Darstellung als Lindenmayer-System.
• Die Fakultät
  Dieser Artikel gibt die Definition der "klassischen" Fakultät und führt von dort aus zunächst zu der Anwendung in Taylor-Reihen und gibt dann eine einfache Methode an, darunter die berühmte Stirling'sche Formel, die Fakultät für große Zahlen anzunähern. Im nächsten Schritt wird die Fakultätsdefinition auf reelle und komplexe Zahlen erweitert. Zum Abschluss werden zwei Verwandte der eigentlichen Fakultät vorgestellt.
• Die Kegelschnitte
  In diesem Artikel untersuchen wir eine Reihe von Kurven, die unter dem Überbegriff Kegelschnitte zusammengefasst werden. Der Name kommt daher, dass alle diese Kurven beim Schnitt einer Ebene mit einem Doppelkegel entstehen. Die Kegelschnitte haben bemerkenswerte geometrische Eigenschaften, auf die wir hier zu sprechen kommen werden.
  Zu diesem Artikel gibt es eine Animation.
• Hyperbolische Geometrie
  Die aus der Schule bekannte euklidische Geometrie ist mit Abstand nicht die einzig denkbare. In diesem Artikel werden Modelle nicht-euklidischer Geometrien vorgestellt und ihre Eigenschaften untersucht.
• Die Kettenlinie
  In diesem Artikel machen wir einen kleinen Abstecher in die Physik, genauer gesagt in die Mechanik, und fragen uns: Welche Form nimmt eine Kette oder eine Schnur an, wenn man sie an ihren Enden aufhängt? Nach oberflächlichem Betrachten würde man sagen, eine Parabel, doch das ist nicht richtig. Wie die Kurve tatsächlich aussieht, und wie man trotzdem an eine Parabel kommt, untersuchen wir hier.
• Das Buffon'sche Nadelexperiment
  Eine numerische Bestimmung der Kreiszahl π erfolgt meist durch das Aufstellen von Formeln aufgrund geometrischer Zusammenhänge und anschließende Auswertung durch die Berechnung von möglichst vielen Gliedern der Reihenentwicklung dieser Formeln. Ein ganz anderes Verfahren liefert das Buffon'sche Nadelexperiment, bei dem π auf stochastischem Wege bestimmt wird. Natürlich ist dieses Verfahren wenig praktikabel (obwohl bekannt ist, dass einige Menschen dieses Experiment einige Tausend mal durchgefühhrt haben), aber mathematisch sehr interessant.
• Zahlentheorie
  Dieser Artikel beginnt mit dem Abstecken der verschiedenen Zahlbereiche. Einem Kapitel über die Dichtheit der rationalen und reellen Zahlen schließt sich ein Kapitel über Irrationalitätsbeweise an, das Grundzüge der Analysis benutzt und auch übersprungen werden kann. Einfache algebraische Strukturen werden verwendet, um die Zahlbereiche zu erweitern. Dann werden natürliche und ganze Zahlen genauer untersucht. Als wichtiges zahlentheoretisches Hilfmittel wird die Moduloarithmetik vorgestellt. Mit ihrer Hilfe werden Primzahltests, Faktorisierungsverfahren und Quadratzahlen untersucht. Anschließend werden Grundbegriffe der abstrakten Algebra eingeführt. Darauf folgt ein Kapitel über Betrands Postulat für Unerschrockene. Den Abschluss bildet ein Streifzug durch die Zahlentheorie.
• Gabriels Horn
  In diesem Artikel werden wir uns etwas mit uneigentlichen Integralen und Rotationskörpern befassen.
• Das Bertrand'sche Paradoxon
  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Kreissehne größer ist als die Seite des einbeschriebenen gleichseitigen Dreiecks? So einfach diese Frage klingen mag, so kompliziert ist ihre Antwort. Denn es gibt keine eindeutige Antwort, wie die folgenden Überlegungen zeigen werden.
• Das Fermat'sche Prinzip
  Das Fermat'sche Prinzip, welches besagt, dass das Licht unter allen möglichen Wegen den mit der kürzesten Laufzeit nimmt, wird benutzt, um das Reflexions- und Brechungsgesetz herzuleiten.
• Fourier-Reihen
  Dieser Artikel gibt eine elementare Einführung in die Theorie der Fourier-Reihen. Er beginnt mit einer kurzen Analyse des Problems, Funktionen als unendliche Reihe trigonometrischer Funktionen darzustellen, wonach die benötigten Orthogonalitätsrelationen und Koeffizientenformeln hergeleitet werden. Auch die Fourier-Reihe in komplexer Darstellung wird behandelt. Danach folgt ein Kapitel, in dem einige einfache Beispiele durchgerechnet werden. Das dabei beobachtete Gibbs'sche Phänomen wird daraufhin genauer untersucht. Dann wird auf den Zusammenhang zwischen Fourier-Reihen und Taylor- sowie Laurent-Reihen eingegangen. Weiter wird die Partialbruchzerlegung des Cotangens hergeleitet. Zum Abschluss werden die erhaltenen Gleichungen benutzt, um Formeln für die Kreiszahl π abzuleiten.
• Die Bedeutung der Areafunktionen
  Die Umkehrfunktionen der hyperbolischen Funktionen heißen Areafunktionen. Woher dieser Name kommt, und wie man ihre Werte anschaulich gewinnen kann, untersuchen wir in diesem Artikel.
• Wallis-Formel, Gammafunktion und n-dimensionale Kugeln
  Das Ziel dieses Artikels ist es, Formeln für das Volumen und die Oberfläche von n-dimensionalen Kugeln herzuleiten. Auf diesem Weg wird das Wallis-Produkt berechnet, und einige Eigenschaften der Gauß'schen Gammafunktion werden präsentiert.
• Das isoperimetrische Problem
  Das isoperimetrische Problem, auch bekannt als das Problem der Dido, ist es, unter allen geschlossenen ebenen Kurven gleichen Umfangs diejenige zu finden, welche die größte Fläche umschließt. Es zeigt sich, dass die Lösung dieses Problems der Kreis ist. In diesem Artikel werden drei verschiedene Beweise dieser Tatsache vorgestellt.
• Bernoulli-Zahlen, Zetafunktion und Summen von Potenzen
  Die Bernoulli-Zahlen gehören zu den wichtigsten Konstanten der Mathematik. Wir leiten hier einige ihrer Eigenschaften ab und benutzen sie, um bestimmte Werte der Riemann'schen Zetafunktion zu berechnen sowie eine geschlossene Formel für Summen von Potenzen zu finden.

Letzte Änderungen

• 7. Februar 2005: Der Artikel über Gabriels Horn wurde überarbeitet.
• 21. Oktober 2004: Der Artikel über Fourier-Reihen wurde überarbeitet.
• 12. September 2004: Der Artikel über Fraktale wurde erweitert.
• 1. September 2004: Der Artikel über Bernoulli-Zahlen wurde erweitert.
• 18. April 2004: Neuer Artikel: Bernoulli-Zahlen, Zetafunktion und Summen von Potenzen.
• 14. April 2004: Der Artikel über Kegelschnitte wurde erweitert.
• 26. Oktober 2003: Dem Artikel über n-dimensionale Kugeln wurde eine Berechnung der Kugeloberfläche mit Kugelkoordinaten hinzugefügt.
• 18. Oktober 2003: Neuer Artikel: Das isoperimetrische Problem.
• 17. Oktober 2003: Der Artikel über Fourier-Reihen wurde um eine Herleitung der Bessel'schen Ungleichung und der Parseval'schen Gleichung erweitert.
• 13. September 2003: Der Artikel über Zahlentheorie wurde überarbeitet.
• 17. August 2003: Der Artikel über Fibonacci-Zahlen wurde überarbeitet und um eine Behandlung der Goldenen Spiralen ergänzt.
• 6. August 2003: Neuer Artikel: Wallis-Formel, Gammafunktion und n-dimensionale Kugeln.
• 6. August 2003: Der Artikel über die Fakultät wurde überarbeitet, und eine Herleitung der Stirling-Formel wurde hinzugefügt.
• 17. Mai 2003: Im Artikel über Kegelschnitte wurde ein kleiner Fehler in einer Skizze korrigiert.
• 3. Mai 2003: Der Artikel über Fourier-Reihen wurde überarbeitet.
• 19. April 2003: Im Artikel über Fourier-Reihen wird nun die Partialbruchzerlegung des Cotangens hergeleitet.
• 24. März 2003: Neuer Artikel: Die Bedeutung der Areafunktionen.
• 16. März 2003: Dem Artikel über Fourier-Reihen wurde eine Diskussion des Gibbs'schen Phänomens sowie der Verbindungen zu Taylor- und Laurent-Reihen hinzugefügt.
• 8. März 2003: Der Artikel über die Kettenlinie wurde erweitert.
• 2. Januar 2003: Der Artikel über Fourier-Reihen wurde erweitert.
• 13. Oktober 2002: Der Artikel über Fraktale wurde überarbeitet.
• 19. September 2002: Der Artikel über die Kettenlinie wurde überarbeitet und eine neue Herleitung über die Euler-Lagrange-Gleichung wurde hinzugefügt.
• 11. August 2002: Im Artikel über Kegelschnitte wurde ein kleiner Fehler in einer Skizze korrigiert.
• 29. Juni 2002: Auf vielfachen Wunsch wurde die Lösung der Differentialgleichung dem Kettenlinien-Artikel hinzugefügt.
• 6. April 2002: Neuer Artikel: Fourier-Reihen.
• 6. April 2002: Die Font-Probleme in den Artikeln wurden beseitigt.
• 23. März 2002: Kleinere Änderungen im Fraktal-Artikel.
• 8. März 2002: Die Mathe-Seiten haben endlich ein eigenes Zuhause gefunden! Ab sofort sind sie erreichbar unter www.mathe-seiten.de.
• 11. Februar 2002: Korrektur eines kleinen Fehlers im Fermat-Artikel.
• 10. Februar 2002: Neuer Artikel: Das Fermat'sche Prinzip.

FAQ

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